int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x= | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर, $I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ प्राप

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$\frac{64}{63}$

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(A) माना $I = \int_3^5 (x-3)^3 (5-x)^5 dx$.गुणधर्म $\int_a^b f(x) dx = \int_a^b f(a+b-x) dx$ का उपयोग करने पर, $I = \int_3^5 (5-x)^3 (x-3)^5 dx$ प्राप्त होता है।वैकल्पिक रूप से, $x-3 = 2t$ प्रतिस्थापन का उपयोग करें, जिससे $x=3+2t$ और $dx=2dt$ प्राप्त होता है।जब $x=3, t=0$ और जब $x=5, t=1$.$I = \int_0^1 (2t)^3 (5-(3+2t))^5 (2dt) = \int_0^1 8t^3 (2-2t)^5 (2dt) = 16 	imes 2^5 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.$I = 512 \int_0^1 t^3 (1-t)^5 dt$.बीटा फलन $\int_0^1 x^{m-1} (1-x)^{n-1} dx = \frac{\Gamma(m)\Gamma(n)}{\Gamma(m+n)} = \frac{(m-1)!(n-1)!}{(m+n-1)!}$ का उपयोग करने पर।यहाँ $m-1=3 \implies m=4$ और $n-1=5 \implies n=6$.$I = 512 	imes \frac{3! 	imes 5!}{9!} = 512 	imes \frac{6 	imes 120}{362880} = 512 	imes \frac{720}{362880} = 512 	imes \frac{1}{504} = \frac{512}{504} = \frac{64}{63}$.

$\int_3^5(x-3)^3(5-x)^5 d x=$

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$\left[ {\sum\limits_{n = 1}^{10} {\int_{ - 2n - 1}^{2n} {{{\sin }^{27}}x\,dx} } } \right] + \left[ {\sum\limits_{n = 1}^{10} {\int_{2n}^{2n + 1} {{{\sin }^{27}}x\,dx} } } \right]$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\int_{-\pi / 2}^{\pi / 2} \frac{8 \sqrt{2} \cos x \, dx}{(1+e^{\sin x})(1+\sin ^4 x)} = \alpha \pi + \beta \log _e(3+2 \sqrt{2})$,जहाँ $\alpha, \beta$ पूर्णांक हैं,तो $\alpha^2+\beta^2$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{-1}^1 \sin^5 x \cos^4 x \, dx$ का मान है

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निश्चित समाकलनों के गुणों का उपयोग करके,$\int_{0}^{a} \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{a-x}} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

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