lim _{n rightarrow infty} nleft[frac{1}{3 n^2 | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n \rightarrow \infty} n \sum_{r=1}^n \frac{1}{3 n^2+8 n r+4 r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप

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$\frac{1}{4} \log \frac{9}{5}$

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(B) दी गई अभिव्यक्ति $S = \lim _{n ightarrow \infty} n \sum_{r=1}^n \frac{1}{3 n^2+8 n r+4 r^2}$ है।अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर,हमें प्राप्त होता है:$S = \lim _{n ightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^n \frac{1}{3+8(\frac{r}{n})+4(\frac{r}{n})^2}$.यह एक रीमान योग है,जिसे निश्चित समाकलन के रूप में लिखा जा सकता है:$S = \int_0^1 \frac{dx}{4x^2+8x+3} = \int_0^1 \frac{dx}{(2x+2)^2-1} = \int_0^1 \frac{dx}{4(x+1)^2-1}$.सूत्र $\int \frac{dx}{x^2-a^2} = \frac{1}{2a} \ln |\frac{x-a}{x+a}|$ का उपयोग करते हुए:$S = \frac{1}{4} \int_0^1 \frac{dx}{(x+1)^2-(\frac{1}{2})^2} = \frac{1}{4} 	imes \frac{1}{2(\frac{1}{2})} [\ln |\frac{x+1-1/2}{x+1+1/2}|]_0^1$.$S = \frac{1}{4} [\ln |\frac{x+1/2}{x+3/2}|]_0^1 = \frac{1}{4} [\ln \frac{3/2}{5/2} - \ln \frac{1/2}{3/2}] = \frac{1}{4} [\ln \frac{3}{5} - \ln \frac{1}{3}] = \frac{1}{4} \ln (\frac{3}{5} 	imes 3) = \frac{1}{4} \ln \frac{9}{5}$.

$\lim _{n \rightarrow \infty} n\left[\frac{1}{3 n^2+8 n+4}+\frac{1}{3 n^2+16 n+16}+\ldots+\frac{1}{15 n^2}\right]=$

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$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{1}{n}+\frac{n}{(n+1)^{2}}+\frac{n}{(n+2)^{2}}+\ldots+\frac{n}{(2 n-1)^{2}}\right]$ का मान ...... है।

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{n}{n^2+1^2}+\frac{n}{n^2+2^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right]=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n \frac{k}{n^2+k^2} = $

$\lim _{n}$ ${\rightarrow \infty} \left( \frac{\sqrt{n}}{\sqrt{n^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+4)^{3}}}+\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{(n+8)^{3}}}+\cdots +\frac{\sqrt{n}}{\sqrt{[n+4(n-1)]^{3}}} \right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{(2n(2n-1) \dots (n+1))^{1/n}}{n} = $

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