int_0^{frac{pi}{4}} log (1+tan x) , dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+	an x) \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\fra

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$\frac{\pi}{8} \log 2$

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(D) माना $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+	an x) \, dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \, dx = \int_0^a f(a-x) \, dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+	an \left(\frac{\pi}{4}-xight)ight) \, dx$. चूँकि $	an(\frac{\pi}{4}-x) = \frac{1-	an x}{1+	an x}$,इसलिए: $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(1+\frac{1-	an x}{1+	an x}ight) \, dx = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log \left(\frac{2}{1+	an x}ight) \, dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} (\log 2 - \log(1+	an x)) \, dx$. $I = \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log 2 \, dx - \int_0^{\frac{\pi}{4}} \log(1+	an x) \, dx$. $I = [x \log 2]_0^{\frac{\pi}{4}} - I$. $2I = \frac{\pi}{4} \log 2$. $I = \frac{\pi}{8} \log 2$.

$\int_0^{\frac{\pi}{4}} \log (1+\tan x) \, dx =$

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यदि $[t]$ महत्तम पूर्णांक $\leq t$ को दर्शाता है,तो $\frac{3(e-1)^2}{e} \int \limits_1^2 x^2 e^{[x]+[x^3]} dx$ का मान क्या है?

$\int_{0}^{\pi} \cos^3 x \, dx = $

$\int_{-1}^{1} x^{2} e^{[x^{3}]} dx$ का मान ज्ञात कीजिए,जहाँ $[t]$ उस महत्तम पूर्णांक को दर्शाता है जो $t$ से छोटा या उसके बराबर है।

$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{\cos ^3 x}{\sin x+\cos x} d x=$

$\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\sqrt {\sin 2\theta } } \sin \theta \,d\theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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