lim _{n rightarrow infty}left(frac{1}{1^2+n^2 | vedclass

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Question

(B) दी गई अभिव्यक्ति को योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$ अंश और हर को $n^2$ से विभा

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$\frac{1}{2} \log 2$

Vedclass · Answer

(B) दी गई अभिव्यक्ति को योग के रूप में लिखा जा सकता है: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r}{r^2+n^2}$ अंश और हर को $n^2$ से विभाजित करने पर: $S = \lim _{n \rightarrow \infty} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n^2}{(r/n)^2+1} = \lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=1}^{n} \frac{r/n}{(r/n)^2+1}$ यह रीमान योग $\int_{0}^{1} f(x) dx$ के रूप में है,जहाँ $x = r/n$ और $dx = 1/n$: $S = \int_{0}^{1} \frac{x}{x^2+1} dx$ मान लीजिए $u = x^2+1$,तब $du = 2x dx$,अर्थात $x dx = du/2$: $S = \frac{1}{2} \int_{1}^{2} \frac{1}{u} du = \frac{1}{2} [\log |u|]_{1}^{2}$ $S = \frac{1}{2} (\log 2 - \log 1) = \frac{1}{2} \log 2$

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{1^2+n^2}+\frac{2}{2^2+n^2}+\frac{3}{3^2+n^2}+\ldots+\frac{n}{n^2+n^2}\right)=$

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यदि $a = \lim_{n \to \infty} \sum_{k=1}^{n} \frac{2n}{n^2+k^2}$ और $f(x) = \sqrt{\frac{1-\cos x}{1+\cos x}}$,$x \in (0, 1)$,तो:

सीमा का मान ज्ञात कीजिए: $\mathop {\lim}\limits_{n \to \infty } \frac{\pi }{2n} \left( 1 + \cos \frac{\pi }{2n} + \cos \frac{2\pi }{2n} + \dots + \cos \frac{(n - 1)\pi }{2n} \right)$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \left[ \frac{n}{n^{2}+1^{2}} + \frac{n}{n^{2}+2^{2}} + \ldots + \frac{n}{n^{2}+n^{2}} \right]$ का मान है

यदि $\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \log \left(\frac{(2 n)!}{n^n \cdot n!}\right)=\int_1^2 f(x) d x$ है, तो $f(x)=$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{n} \sum_{r=0}^{2 n-1} \frac{n^{2}}{n^{2}+4 r^{2}}$ का मान है:

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