$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{\pi}{2 n}\left[\sin \frac{\pi}{2 n}+\sin \frac{2 \pi}{2 n}+\sin \frac{3 \pi}{2 n}+\ldots+\sin \frac{\pi}{2}\right]=$

निश्चित समाकल की परिभाषा के अनुसार,$\lim _{n \rightarrow \infty}\left(\frac{1}{\sqrt{n^2-1^2}}+\frac{1}{\sqrt{n^2-2^2}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{n^2-(n-1)^2}}\right)$ का मान किसके बराबर है?

$a \in R, |a| > 1$ के लिए,मान लीजिए $\lim _{n \rightarrow \infty} \left( \frac{1+\sqrt[3]{2}+\ldots+\sqrt[3]{n}}{n^{7/3} \left( \frac{1}{(an+1)^2} + \frac{1}{(an+2)^2} + \ldots + \frac{1}{(an+n)^2} \right)} \right) = 54$. तो $a$ का/के संभावित मान है/हैं:
$(1) 8$ $(2) -9$ $(3) -6$ $(4) 7$

$\lim _{n \rightarrow \infty} \frac{1}{2^{n}}\left(\frac{1}{\sqrt{1-\frac{1}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2}{2^{n}}}}+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{3}{2^{n}}}}+\ldots+\frac{1}{\sqrt{1-\frac{2^{n}-1}{2^{n}}}}\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $U_{n}=\left(1+\frac{1^{2}}{n^{2}}\right)^{1}\left(1+\frac{2^{2}}{n^{2}}\right)^{2} \ldots\left(1+\frac{n^{2}}{n^{2}}\right)^{n}$ है,तो $\lim _{n \rightarrow \infty}\left(U_{n}\right)^{\frac{-4}{n^{2}}}$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\lim _{n \rightarrow \infty}\left[\frac{\sqrt{n^2-1^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-2^2}}{n^2}+\frac{\sqrt{n^2-3^2}}{n^2}+\ldots+\frac{\sqrt{n^2-n^2}}{n^2}\right]=$