એક પેટીમાં $1$ થી $100$ સુધીની સંખ્યા ધરાવતા $100$ દડા છે. જો પેટીમાંથી $3$ દડા વારાફરતી પુરવણી સહિત યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે,તો પસંદ કરેલા દડાઓ પરની ત્રણ સંખ્યાઓનો સરવાળો એકી સંખ્યા હોય તેની સંભાવના કેટલી છે?

એક રમતમાં,બે ખેલાડીઓ $A$ અને $B$ વારાફરતી પાસાની જોડી ફેંકે છે,જેની શરૂઆત ખેલાડી $A$ કરે છે. દરેક ફેંકમાં બંને પાસા પરના કુલ અંક નોંધવામાં આવે છે. જો $A$,$B$ ના $7$ ના કુલ સરવાળા પહેલા $6$ નો કુલ સરવાળો મેળવે તો $A$ જીતે છે,અને જો $B$,$A$ ના $6$ ના કુલ સરવાળા પહેલા $7$ નો કુલ સરવાળો મેળવે તો $B$ જીતે છે. જેવો કોઈ પણ ખેલાડી જીતે કે તરત જ રમત અટકી જાય છે. $A$ ના જીતવાની સંભાવના કેટલી છે?

એક લંબગોળ એક વર્તુળમાં અંતર્ગત છે અને વર્તુળની અંદર એક બિંદુ યાદચ્છિક રીતે પસંદ કરવામાં આવે છે. જો આ બિંદુ લંબગોળની બહાર હોય તેની સંભાવના $\frac{2}{3}$ હોય,તો લંબગોળની ઉત્કેન્દ્રતા $\frac{a\sqrt{b}}{c}$ છે. જ્યાં $\gcd(a, c) = 1$ અને $b$ એ વર્ગ-મુક્ત પૂર્ણાંક છે,તો $a \cdot b \cdot c$ ની કિંમત શોધો.

ચાર મશીનો છે અને તે જાણીતું છે કે તેમાંથી બરાબર બે મશીનો ખામીયુક્ત છે. જ્યાં સુધી બંને ખામીયુક્ત મશીનો ઓળખાય નહીં ત્યાં સુધી તેમને એક પછી એક,યાદચ્છિક ક્રમમાં તપાસવામાં આવે છે. તો,માત્ર બે પરીક્ષણોની જરૂર પડે તેની સંભાવના કેટલી છે?

$A$ અને $B$ વારાફરતી પાસાની એક જોડી ફેંકે છે અને તેઓ પાસા પર આવતી સંખ્યાઓનો સરવાળો નોંધે છે. જો $A$,$B$ ના $7$ ફેંકતા પહેલા $6$ ફેંકે તો $A$ જીતે છે,અને જો $B$,$A$ ના $6$ ફેંકતા પહેલા $7$ ફેંકે તો $B$ જીતે છે. જો $A$ શરૂઆત કરે,તો $A$ ના જીતવાની સંભાવના કેટલી?

ત્રણ સ્વતંત્ર ઘટનાઓ $E_1, E_2$ અને $E_3$ માટે,માત્ર $E_1$ બને તેની સંભાવના $\alpha$ છે,માત્ર $E_2$ બને તેની સંભાવના $\beta$ છે અને માત્ર $E_3$ બને તેની સંભાવના $\gamma$ છે. ધારો કે $E_1, E_2$ અથવા $E_3$ માંથી કોઈ પણ ઘટના ન બને તેની સંભાવના $p$ એ સમીકરણો $(\alpha - 2\beta)p = \alpha\beta$ અને $(\beta - 3\gamma)p = 2\beta\gamma$ નું સમાધાન કરે છે. બધી આપેલી સંભાવનાઓ અંતરાલ $(0, 1)$ માં છે તેમ માની લો. તો $\frac{\text{Probability of occurrence of } E_1}{\text{Probability of occurrence of } E_3} = $