$A$ એ $m \times n$ શ્રેણિક છે જેનો ક્રમ (rank) $4$ છે. જો $A$ માં $m$-ક્રમનો અસામાન્ય (non-singular) ઉપ-શ્રેણિક હોય અને $A^T A$ એ $7 \times 7$ શ્રેણિક હોય, તો $A$ ની હારની સંખ્યા કેટલી છે?

ધારો કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} x^3 & \sin x & \cos x \\ 6 & -1 & 0 \\ p & p^2 & p^3 \end{array} \right|$,જ્યાં $p$ એક અચળાંક છે. તો $x = 0$ આગળ $\frac{d^3}{dx^3} \{f(x)\}$ ની કિંમત શોધો.

જો ${\Delta _1} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b & b \\ a & x & b \\ a & a & x \end{array}} \right|$ અને ${\Delta _2} = \left| {\begin{array}{*{20}{c}} x & b \\ a & x \end{array}} \right|$ આપેલ નિશ્ચાયકો હોય,તો:

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય, તો $f^{\prime}(\pi)$ ની કિંમત શોધો.

જો $\alpha, \beta, \text{ અને } \gamma$ વાસ્તવિક સંખ્યાઓ હોય,તો $D = \begin{vmatrix} 1 & \cos(\beta - \alpha) & \cos(\gamma - \alpha) \\ \cos(\alpha - \beta) & 1 & \cos(\gamma - \beta) \\ \cos(\alpha - \gamma) & \cos(\beta - \gamma) & 1 \end{vmatrix} = $

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} a^2 & a & 1 \\ \cos(nx) & \cos(n+1)x & \cos(n+2)x \\ \sin(nx) & \sin(n+1)x & \sin(n+2)x \end{array} \right|$ નું મૂલ્ય કોનાથી સ્વતંત્ર છે?