જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} 2 \cos x & 1 & 0 \\ x - \frac{\pi}{2} & 2 \cos x & 1 \\ 0 & 1 & 2 \cos x \end{array} \right|$ હોય, તો $f^{\prime}(\pi)$ ની કિંમત શોધો.

નિશ્ચાયક $\left| \begin{array}{ccc} \cos(\theta + \phi) & -\sin(\theta + \phi) & \cos 2\phi \\ \sin \theta & \cos \theta & \sin \phi \\ -\cos \theta & \sin \theta & \cos \phi \end{array} \right|$ એ :

જો $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos(x+a+b) & \sin(x+a+b) & 10 \\ \cos(x+b+c) & \sin(x+b+c) & 10 \\ \cos(x+c+a) & \sin(x+c+a) & 10 \end{array} \right|$ હોય,તો $f(2019)^{f(2020)} - f(2020)^{f(2019)}$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f$ એ $R$ પર વ્યાખ્યાયિત બે વાર વિકલનીય વિધેય છે,જેથી $f(0)=1$,$f^{\prime}(0)=2$ અને તમામ $x \in R$ માટે $f^{\prime}(x) \neq 0$ છે. જો તમામ $x \in R$ માટે $\left|\begin{array}{ll}f(x) & f^{\prime}(x) \\ f^{\prime}(x) & f^{\prime \prime}(x)\end{array}\right|=0$ હોય,તો $f(1)$ ની કિંમત કયા અંતરાલમાં હશે?

જો $\left| \begin{array}{ccc} 1 + ax & 1 + bx & 1 + cx \\ 1 + a_1x & 1 + b_1x & 1 + c_1x \\ 1 + a_2x & 1 + b_2x & 1 + c_2x \end{array} \right| = A_0 + A_1x + A_2x^2 + A_3x^3$ હોય,તો $A_1$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f(x) = \left| \begin{array}{ccc} \cos x & x & 1 \\ 2 \sin x & x^3 & 2x \\ \tan x & x & 1 \end{array} \right|$. તો $\lim_{x \rightarrow 0} \frac{f(x)}{x^2}$ ની કિંમત શોધો.