જો $\vec{a} = \hat{i} + \hat{j} + \hat{k}$,$\vec{b} = 2\hat{i} - 4\hat{k}$,અને $\vec{c} = \hat{i} + \lambda \hat{j} + 3\hat{k}$ સમતલીય હોય,તો $\lambda$ ની કિંમત શોધો.

રેખાઓ $\overline{r}=\overline{a}+\lambda(\overline{b} \times \overline{c})$ અને $\overline{r}=\overline{c}+\mu(\overline{a} \times \overline{b})$ છેદશે જો

ધારો કે $a=2 \hat{i}+\hat{j}-3 \hat{k}$ અને $b=\hat{i}+3 \hat{j}+2 \hat{k}$ છે. તો જેની સહ-અંતિમ ધાર $a, b$ અને $c$ હોય તેવા સમાંતરફલકનું ઘનફળ શોધો, જ્યાં $c$ એ $a$ અને $b$ ના સમતલને લંબ સદિશ છે અને $|c|=2$ છે.

જો $A \equiv (1, -1, 0)$,$B \equiv (0, 1, -1)$,અને $C \equiv (-1, 0, 1)$ હોય,તો એકમ સદિશ $\overline{d}$ શોધો કે જેથી $\overline{a}$ અને $\overline{d}$ પરસ્પર લંબ હોય અને $\overline{b}, \overline{c}, \overline{d}$ સમતલીય હોય.

જો $\hat{i}-2 \hat{j}+3 \hat{k}$, $2 \hat{i}+3 \hat{j}-4 \hat{k}$, $-3 \hat{i}+\hat{j}-5 \hat{k}$ અને $a \hat{i}-2 \hat{j}+4 \hat{k}$ સ્થાન સદિશો ધરાવતા બિંદુઓ સમતલીય હોય, તો $a=$

ધારો કે $\vec{a} = a_1\hat{i} + a_2\hat{j} + a_3\hat{k}$,$\vec{b} = b_1\hat{i} + b_2\hat{j} + b_3\hat{k}$,અને $\vec{c} = c_1\hat{i} + c_2\hat{j} + c_3\hat{k}$ ત્રણ શૂન્યેતર સદિશો છે જેથી $\vec{c}$ એ $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ હોય. જો $\vec{a}$ અને $\vec{b}$ વચ્ચેનો ખૂણો $\frac{\pi}{6}$ હોય,તો $\left| \begin{array}{ccc} a_1 & a_2 & a_3 \\ b_1 & b_2 & b_3 \\ c_1 & c_2 & c_3 \end{array} \right|^2 = \dots$