int frac{sin ^8 x-cos ^8 x}{1-2 sin ^2 x cos | vedclass

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Question

(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ है। सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके, हम अंश क

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$\frac{-1}{2} \sin 2 x+c$

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(D) हमारे पास समाकलन $I = \int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x$ है। सर्वसमिका $a^2 - b^2 = (a-b)(a+b)$ का उपयोग करके, हम अंश का गुणनखंड कर सकते हैं: $\sin ^8 x - \cos ^8 x = (\sin ^4 x - \cos ^4 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x) = (\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^2 x + \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$. चूंकि $\sin ^2 x + \cos ^2 x = 1$, इसलिए अंश $(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)$ हो जाता है। अब, हर पर विचार करें: $1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$. हम जानते हैं कि $1 = (\sin ^2 x + \cos ^2 x)^2 = \sin ^4 x + \cos ^4 x + 2 \sin ^2 x \cos ^2 x$. इसलिए, $1 - 2 \sin ^2 x \cos ^2 x = \sin ^4 x + \cos ^4 x$. इन मानों को समाकलन में प्रतिस्थापित करने पर: $I = \int \frac{(\sin ^2 x - \cos ^2 x)(\sin ^4 x + \cos ^4 x)}{\sin ^4 x + \cos ^4 x} d x = \int (\sin ^2 x - \cos ^2 x) d x$. सर्वसमिका $\cos 2x = \cos ^2 x - \sin ^2 x$ का उपयोग करते हुए, हमें $\sin ^2 x - \cos ^2 x = -\cos 2x$ प्राप्त होता है। अतः, $I = \int -\cos 2x d x = -\frac{1}{2} \sin 2x + C$.

$\int \frac{\sin ^8 x-\cos ^8 x}{1-2 \sin ^2 x \cos ^2 x} d x=$

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$\int \sqrt{x+\sqrt{x^2+2}} \, dx =$

$\int \frac{4 e^{x}+6 e^{-x}}{9 e^{x}-4 e^{-x}} d x=A x+B \log \left|9 e^{2 x}-4\right|+c$,तो (जहाँ $c$ समाकलन का स्थिरांक है)

$\int {\frac{{\sec x \cdot \csc x}}{{2\cot x - \sec x \cdot \csc x}}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ समाकलन स्थिरांक है)।

$0 < x < 1$ के लिए,समाकलन $\int [\operatorname{Tan}^{-1}(1-x+x^2) + \operatorname{Tan}^{-1}(1-x)] dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $\frac{5 \pi}{4} < x < \frac{7 \pi}{4}$, तो $\int \sqrt{\frac{1-\sin 2 x}{1+\sin 2 x}} d x=$

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