int (log x)^2 dx = | vedclass

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Question

(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 dx$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v d

Vedclass · Accepted Answer

$x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$

Vedclass · Answer

(C) समाकल $I = \int (\log x)^2 dx$ का मान ज्ञात करने के लिए, हम खंडशः समाकलन (integration by parts) विधि का उपयोग करते हैं: $\int u dv = uv - \int v du$. माना $u = (\log x)^2$ और $dv = dx$. तब $du = 2 \log x \cdot \frac{1}{x} dx$ और $v = x$ प्राप्त होता है। सूत्र का उपयोग करने पर: $I = x(\log x)^2 - \int x \cdot \frac{2 \log x}{x} dx + c$ $I = x(\log x)^2 - 2 \int \log x dx + c$ अब, $\int \log x dx$ का पुनः खंडशः समाकलन करने पर (माना $u = \log x, dv = dx$): $\int \log x dx = x \log x - \int x \cdot \frac{1}{x} dx = x \log x - x$. इस मान को $I$ के समीकरण में प्रतिस्थापित करने पर: $I = x(\log x)^2 - 2(x \log x - x) + c$ $I = x(\log x)^2 - 2x \log x + 2x + c$ $I = x(\log x)^2 - 2x(\log x - 1) + c$.

$\int (\log x)^2 dx =$

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