int frac{d x}{x ln (x) ln ^2(x) ln ^3(x) ldot | vedclass

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Question

(D) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ldots \ln ^m(x)}$माना $u = \ln(x)$, तब $du = \frac{1}{x} dx$.समाकलन इस प्रकार हो जाता ह

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$(m+2)(1-m)$

Vedclass · Answer

(D) दिया गया समाकलन: $I = \int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ldots \ln ^m(x)}$माना $u = \ln(x)$, तब $du = \frac{1}{x} dx$.समाकलन इस प्रकार हो जाता है: $I = \int \frac{du}{u^1 \cdot u^2 \cdot u^3 \cdot \ldots \cdot u^m} = \int \frac{du}{u^{1+2+3+\ldots+m}}$.योग सूत्र $\sum_{i=1}^{m} i = \frac{m(m+1)}{2}$ का उपयोग करते हुए:$I = \int u^{-\frac{m(m+1)}{2}} du$.घात नियम $\int u^n du = \frac{u^{n+1}}{n+1} + C$ लागू करने पर:$I = \frac{u^{-\frac{m(m+1)}{2} + 1}}{-\frac{m(m+1)}{2} + 1} + C = \frac{u^{\frac{2 - m^2 - m}{2}}}{\frac{2 - m^2 - m}{2}} + C$.घातांक का गुणनखंड करने पर: $2 - m^2 - m = -(m^2 + m - 2) = -(m+2)(m-1) = (m+2)(1-m)$.अतः, $I = \frac{u^{\frac{(m+2)(1-m)}{2}}}{\frac{(m+2)(1-m)}{2}} + C$.इसे दिए गए रूप $\frac{(\ln x)^K}{K} + C$ के साथ तुलना करने पर, हमें $K = \frac{(m+2)(1-m)}{2}$ प्राप्त होता है।इसलिए, $2K = (m+2)(1-m)$.

$\int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ln ^3(x) \ldots \ln ^m(x)}=\frac{(\ln (x))^K}{K}+C$
$\Rightarrow 2 K=$

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$\int \frac{d x}{x \ln (x) \ln ^2(x) \ln ^3(x) \ldots \ln ^m(x)}=\frac{(\ln (x))^K}{K}+C$$\Rightarrow 2 K=$