int_0^2 frac{2x-2}{2x-x^2} dx का मान ज्ञात की | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$. यहाँ हर $2x-x^2 = x(2-x)$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर शून्य हो जाता है, इसलिए यह एक अनुचित समाकल (improper

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$0$

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(A) माना $I = \int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$. यहाँ हर $2x-x^2 = x(2-x)$ बिंदु $x=0$ और $x=2$ पर शून्य हो जाता है, इसलिए यह एक अनुचित समाकल (improper integral) है। हम इसे सीमा के रूप में हल करते हैं: $I = \lim_{\epsilon 	o 0^+} \int_{\epsilon}^{2-\epsilon} \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$. माना $f(x) = 2x-x^2$, तो $f'(x) = 2-2x = -(2x-2)$. अतः, $\int \frac{2x-2}{2x-x^2} dx = -\int \frac{f'(x)}{f(x)} dx = -\ln|2x-x^2| + C$. निश्चित समाकल का मान रखने पर: $I = \lim_{\epsilon 	o 0^+} [-\ln|2x-x^2|]_{\epsilon}^{2-\epsilon} = \lim_{\epsilon 	o 0^+} [-\ln|2(2-\epsilon)-(2-\epsilon)^2| - (-\ln|2\epsilon-\epsilon^2|)]$. $I = \lim_{\epsilon 	o 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|4-2\epsilon-(4-4\epsilon+\epsilon^2)|] = \lim_{\epsilon 	o 0^+} [\ln|2\epsilon-\epsilon^2| - \ln|2\epsilon-\epsilon^2|] = 0$. अतः, समाकल का मान $0$ है।

$\int_0^2 \frac{2x-2}{2x-x^2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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