int_0^{pi / 2} frac{d x}{1+tan ^3 x} का मान ज | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+	an ^3 x}$.हम जानते हैं कि $	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$, इसलिए $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}

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$\frac{\pi}{4}$

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(C) माना $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+	an ^3 x}$.हम जानते हैं कि $	an x = \frac{\sin x}{\cos x}$, इसलिए $I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x}{\sin ^3 x+\cos ^3 x} d x$ ...$(i)$गुणधर्म $\int_0^a f(x) d x = \int_0^a f(a-x) d x$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3(\pi/2 - x)}{\sin ^3(\pi/2 - x) + \cos ^3(\pi/2 - x)} d x$$I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\sin ^3 x}{\cos ^3 x + \sin ^3 x} d x$ ...(ii)समीकरण $(i)$ और (ii) को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{\pi / 2} \frac{\cos ^3 x + \sin ^3 x}{\sin ^3 x + \cos ^3 x} d x$$2I = \int_0^{\pi / 2} 1 d x = [x]_0^{\pi / 2} = \frac{\pi}{2}$अतः, $I = \frac{\pi}{4}$.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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