y+x^2=frac{dy}{dx} का हल है | vedclass

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Question

(A) हमारे पास है, $\frac{dy}{dx} - y = x^2$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -1$ और $Q = x^2$ है। समाकलन गुणक

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$y+x^2+2x+2=ce^x$

Vedclass · Answer

(A) हमारे पास है, $\frac{dy}{dx} - y = x^2$. यह $\frac{dy}{dx} + Py = Q$ के रूप का एक रैखिक अवकल समीकरण है, जहाँ $P = -1$ और $Q = x^2$ है। समाकलन गुणक (Integrating Factor) $IF = e^{\int P dx} = e^{\int -1 dx} = e^{-x}$ है। व्यापक हल $y \cdot IF = \int Q \cdot IF dx + c$ द्वारा दिया जाता है। मान रखने पर, हमें $y e^{-x} = \int x^2 e^{-x} dx + c$ प्राप्त होता है। खंडशः समाकलन का उपयोग करने पर, $\int x^2 e^{-x} dx = -x^2 e^{-x} - 2x e^{-x} - 2e^{-x}$ होता है। अतः, $y e^{-x} = -e^{-x}(x^2 + 2x + 2) + c$। दोनों पक्षों को $e^x$ से गुणा करने पर, हमें $y = -(x^2 + 2x + 2) + ce^x$ प्राप्त होता है। पदों को व्यवस्थित करने पर, हमें $y + x^2 + 2x + 2 = ce^x$ प्राप्त होता है।

$y+x^2=\frac{dy}{dx}$ का हल है

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