R त्रिज्या वाली एक अचालक डिस्क का पृष्ठीय आवे | vedclass

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Question

(C) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक सूक्ष्म वलय (ring) पर विचार करें।वलय पर आवेश $dq = 	ext{क्षेत्रफल} 	imes \sigma = (2\pi r dr) \sigma$ है।वलय

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$\frac{5}{6}$

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(C) $r$ त्रिज्या और $dr$ मोटाई वाली एक सूक्ष्म वलय (ring) पर विचार करें।वलय पर आवेश $dq = 	ext{क्षेत्रफल} 	imes \sigma = (2\pi r dr) \sigma$ है।वलय से प्रवाहित धारा $di = \frac{dq}{T}$ है, जहाँ $T = \frac{2\pi}{\omega}$ आवर्तकाल है।अतः, $di = \frac{\omega dq}{2\pi} = \frac{\omega (2\pi r dr) \sigma}{2\pi} = \omega r \sigma dr$ है।इस सूक्ष्म वलय के कारण केंद्र पर चुंबकीय प्रेरण $dB = \frac{\mu_0 di}{2r} = \frac{\mu_0 (\omega r \sigma dr)}{2r} = \frac{\mu_0 \omega \sigma dr}{2}$ प्राप्त होता है।$\sigma = \sigma_0 \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}ight)$ रखने पर, $dB = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}ight) dr$ मिलता है।केंद्र पर कुल चुंबकीय प्रेरण $B$ ज्ञात करने के लिए, हम $r = 0$ से $r = R$ तक समाकलन करते हैं:$B = \int_0^R \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left(1 + \sqrt{\frac{r}{R}}ight) dr = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{r^{3/2}}{\sqrt{R} \cdot (3/2)} ight]_0^R = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left[ r + \frac{2r^{3/2}}{3\sqrt{R}} ight]_0^R$.सीमाओं का मान रखने पर:$B = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2R^{3/2}}{3\sqrt{R}} ight) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( R + \frac{2}{3}R ight) = \frac{\mu_0 \omega \sigma_0}{2} \left( \frac{5}{3}R ight) = \frac{5}{6} \mu_0 \omega \sigma_0 R$.अतः, $\frac{B}{\mu_0 \sigma_0 \omega R} = \frac{5}{6}$।

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