$a, b, c, d$ समतलीय सदिश हैं, तो $(a \times b) \times (c \times d)$ का मान क्या होगा?

एक समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल ज्ञात कीजिए जिसके विकर्ण सदिश $2 \bar{a}-\bar{b}$ और $4 \bar{a}-5 \bar{b}$ हैं,जहाँ $\bar{a}$ और $\bar{b}$ इकाई सदिश हैं जो $45^{\circ}$ का कोण बनाते हैं।

सदिश $\bar{a}=2 \hat{i}+\hat{j}-2 \hat{k}$ और $\bar{b}=\hat{i}+\hat{j}$ हैं। यदि $\bar{c}$ एक ऐसा सदिश है कि $\bar{a} \cdot \bar{c}=|\bar{c}|$ और $|\bar{c}-\bar{a}|=2 \sqrt{2}$ है,और $\bar{a} \times \bar{b}$ तथा $\bar{c}$ के बीच का कोण $\frac{\pi}{4}$ है,तो $|(\bar{a} \times \bar{b}) \times \bar{c}|$ का मान ज्ञात कीजिए।

माना कि $\vec a = 2\hat i + \hat j - 2\hat k$ और $\vec b = \hat i + \hat j$ है। यदि $\vec c$ एक ऐसा सदिश है कि $\vec a \cdot \vec c + 2|\vec c| = 0$ और $|\vec c - \vec a| = \sqrt{14}$ है,तथा $\vec a \times \vec b$ और $\vec c$ के बीच का कोण $30^o$ है,तो $|(\vec a \times \vec b) \times \vec c|$ का मान ज्ञात कीजिए।

$A(1, 2, 3)$,$B(1, 3, a)$,$C(3, 8, 6)$ और $D(3, 7, 3)$ शीर्षों वाले समांतर चतुर्भुज का क्षेत्रफल $\sqrt{265}$ वर्ग इकाई है,तो $a=$

यदि $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ और $\vec{b}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$ है,तो $(\vec{a}+\vec{b})$ और $(\vec{a}-\vec{b})$ दोनों के लंबवत एक इकाई सदिश ज्ञात कीजिए।