$a, b, c, d$ એ સમતલીય સદિશો છે, તો $(a \times b) \times (c \times d)$ ની કિંમત શું થાય?

ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{d}=-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$. જો $\vec{d}=x(\vec{b} \times \vec{c})-\frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a})+z(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $\vec{a}$ એક એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \times \hat{i}=\hat{j}+\hat{k}$ અને $\vec{a} \cdot \hat{i}=1$ થાય, તો બિંદુ $\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}$ માંથી પસાર થતી અને $\vec{a}$ ને સમાંતર રેખાનું સમીકરણ શોધો.

$x, y, z$ એ ત્રણ સદિશો છે, દરેકનું માન $\sqrt{2}$ છે અને દરેક એકબીજા સાથે $60^{\circ}$ નો ખૂણો બનાવે છે. જો $a=x \times(y \times z), b=y \times(z \times x)$, $c=x \times y$ હોય, તો $x=$

ધારો કે $O$ ઉગમબિંદુ છે અને બિંદુ $P$ નો સ્થાન સદિશ $-\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ છે. જો બિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો અનુક્રમે $-2\hat{i}+\hat{j}-3\hat{k}$,$2\hat{i}+4\hat{j}-2\hat{k}$ અને $-4\hat{i}+2\hat{j}-\hat{k}$ હોય,તો સદિશ $\overline{AB}$ અને $\overline{AC}$ ને લંબ સદિશ પર સદિશ $\overline{OP}$ નો પ્રક્ષેપ $......$ છે.

ધારો કે $\vec{a} = \hat{i} + 2\hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\vec{b} = \hat{i} - \hat{j} + \hat{k}$ છે. જો $\vec{c}$ એવો સદિશ હોય કે જેથી $\vec{a} \cdot \vec{c} = |\vec{c}|$, $|\vec{c} - \vec{a}| = 2\sqrt{2}$ અને $\vec{a} \times \vec{b}$ તથા $\vec{c}$ વચ્ચેનો ખૂણો $60^\circ$ હોય, તો $|(\vec{a} \times \vec{b}) \times \vec{c}|$ ની કિંમત શોધો.