ધારો કે $\vec{a}=\hat{i}+\hat{j}+\hat{k}, \vec{b}=\hat{i}+\hat{j}-2\hat{k}, \vec{c}=\hat{i}-2\hat{j}+3\hat{k}$ અને $\vec{d}=-4\hat{i}+5\hat{j}-3\hat{k}$. જો $\vec{d}=x(\vec{b} \times \vec{c})-\frac{7}{9}(\vec{c} \times \vec{a})+z(\vec{a} \times \vec{b})$ હોય,તો $x$ ની કિંમત શોધો.

જો $(\bar{i}+\bar{j}+\bar{k})$,$(\bar{i}+2\bar{j}+3\bar{k})$ અને $(2\bar{i}-\bar{j}+\bar{k})$ એ $\triangle ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B$ અને $C$ ના સ્થાન સદિશો હોય,તો $A$ માંથી પસાર થતા વેધનું સદિશ સમીકરણ શોધો.

ધારો કે $\overrightarrow{a}=3\hat{i}-\hat{j}+2\hat{k}$,$\overrightarrow{b}=\overrightarrow{a}\times(\hat{i}-2\hat{k})$ અને $\overrightarrow{c}=\overrightarrow{b}\times\hat{k}$ છે. તો $\overrightarrow{c}-2\hat{j}$ નો $\overrightarrow{a}$ પરનો પ્રક્ષેપ શોધો:

ધારો કે $\overrightarrow{a}=a_1 \hat{i}+a_2 \hat{j}+a_3 \hat{k}$.
વિધાન $(A)$ : નિત્યસમ $|\overrightarrow{a} \times \hat{i}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{j}|^2+|\overrightarrow{a} \times \hat{k}|^2=2|\overrightarrow{a}|^2$ એ $\overrightarrow{a}$ માટે સાચું છે.
કારણ $(R)$ : $\overrightarrow{a} \times \hat{i}=a_3 \hat{j}-a_2 \hat{k}$,$\overrightarrow{a} \times \hat{j}=a_1 \hat{k}-a_3 \hat{i}$,અને $\overrightarrow{a} \times \hat{k}=a_2 \hat{i}-a_1 \hat{j}$.
નીચેનામાંથી કયું સાચું છે?

ધારો કે રેખાઓ $L_1: \frac{x + 1}{3} = \frac{y + 2}{1} = \frac{z + 1}{2}$ અને $L_2: \frac{x - 2}{1} = \frac{y + 2}{2} = \frac{z - 3}{3}$ છે. $L_1$ અને $L_2$ બંનેને લંબ એકમ સદિશ શોધો.

જો સમાંતરબાજુ ચતુષ્કોણના વિકર્ણો સદિશો $3\hat{i} + \hat{j} - 2\hat{k}$ અને $\hat{i} + 3\hat{j} - 4\hat{k}$ દ્વારા દર્શાવવામાં આવે,તો તેનું ક્ષેત્રફળ ચોરસ એકમમાં કેટલું થાય?