एक यादृच्छिक प्रयोग पाँच बार किया जाता है। यद | vedclass

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Question

(A) दिया गया है कि प्रयोग $n = 5$ बार किया जाता है। मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है। द्विपद वितरण का माध्य $

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$\frac{64}{81}$

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(A) दिया गया है कि प्रयोग $n = 5$ बार किया जाता है। मान लीजिए $p$ सफलता की प्रायिकता है और $q = 1 - p$ असफलता की प्रायिकता है। द्विपद वितरण का माध्य $np$ है और प्रसरण $npq$ है। दिया गया है $np - npq = \frac{5}{9}$। $n = 5$ रखने पर: $5p - 5pq = \frac{5}{9} \implies p - pq = \frac{1}{9}$। चूँकि $1 - q = p$, हमें $p(1 - q) = p^2 = \frac{1}{9}$ प्राप्त होता है, जिसका अर्थ है $p = \frac{1}{3}$। अतः, $q = 1 - \frac{1}{3} = \frac{2}{3}$। अधिकतम दो सफलताएँ प्राप्त करने की प्रायिकता $P(X \leq 2) = P(X = 0) + P(X = 1) + P(X = 2)$ है। सूत्र $P(X = k) = {}^nC_k p^k q^{n-k}$ का उपयोग करते हुए: $P(X = 0) = {}^5C_0 (\frac{1}{3})^0 (\frac{2}{3})^5 = 1 	imes 1 	imes \frac{32}{243} = \frac{32}{243}$। $P(X = 1) = {}^5C_1 (\frac{1}{3})^1 (\frac{2}{3})^4 = 5 	imes \frac{1}{3} 	imes \frac{16}{81} = \frac{80}{243}$। $P(X = 2) = {}^5C_2 (\frac{1}{3})^2 (\frac{2}{3})^3 = 10 	imes \frac{1}{9} 	imes \frac{8}{27} = \frac{80}{243}$। इन प्रायिकताओं का योग करने पर: $P(X \leq 2) = \frac{32}{243} + \frac{80}{243} + \frac{80}{243} = \frac{192}{243} = \frac{64}{81}$।

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