1+{ }^{n} C_{1} cos theta+{ }^{n} C_{2} cos 2 | vedclass

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Question

(A) दिया गया व्यंजक $(1+e^{i	heta})^n$ के द्विपद विस्तार का वास्तविक भाग है।माना $S = 1+{ }^{n} C_{1} \cos 	heta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 	heta+\ldots+

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$\left(2 \cos \frac{	heta}{2}ight)^{n} \cos \frac{n 	heta}{2}$

Vedclass · Answer

(A) दिया गया व्यंजक $(1+e^{i	heta})^n$ के द्विपद विस्तार का वास्तविक भाग है।माना $S = 1+{ }^{n} C_{1} \cos 	heta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 	heta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n 	heta$.तब $S = \operatorname{Re}\left(\sum_{k=0}^{n} { }^{n} C_{k} e^{ik	heta}ight) = \operatorname{Re}((1+e^{i	heta})^n)$.$1+e^{i	heta} = 1+\cos 	heta + i \sin 	heta = 2 \cos^2 \frac{	heta}{2} + i 2 \sin \frac{	heta}{2} \cos \frac{	heta}{2}$ का उपयोग करने पर.$1+e^{i	heta} = 2 \cos \frac{	heta}{2} \left(\cos \frac{	heta}{2} + i \sin \frac{	heta}{2}ight) = 2 \cos \frac{	heta}{2} e^{i	heta/2}$.अतः, $(1+e^{i	heta})^n = (2 \cos \frac{	heta}{2})^n e^{in	heta/2} = (2 \cos \frac{	heta}{2})^n \left(\cos \frac{n	heta}{2} + i \sin \frac{n	heta}{2}ight)$.वास्तविक भाग लेने पर, हमें $S = (2 \cos \frac{	heta}{2})^n \cos \frac{n	heta}{2}$ प्राप्त होता है।

$1+{ }^{n} C_{1} \cos \theta+{ }^{n} C_{2} \cos 2 \theta+\ldots+{ }^{n} C_{n} \cos n \theta$ का मान क्या है?

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