6int_{0}^{pi}|(sin 3x+sin 2x+sin x)| dx का | vedclass

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Question

(B) दिया गया समाकलन $I = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 3x + \sin 2x + \sin x| dx$ है। योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x$ का उपयोग करने पर

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$17$

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(B) दिया गया समाकलन $I = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 3x + \sin 2x + \sin x| dx$ है। योग-से-गुणनफल सूत्र $\sin 3x + \sin x = 2\sin 2x \cos x$ का उपयोग करने पर: $I = 6\int_{0}^{\pi}|2\sin 2x \cos x + \sin 2x| dx = 6\int_{0}^{\pi}|\sin 2x(2\cos x + 1)| dx$. चूंकि $\sin 2x = 2\sin x \cos x$, हमारे पास $I = 12\int_{0}^{\pi}|\sin x \cos x(2\cos x + 1)| dx$ है। माना $t = \cos x$, तो $dt = -\sin x dx$। जब $x=0, t=1$ और जब $x=\pi, t=-1$। $I = 12\int_{-1}^{1}|t(2t+1)| dt = 12\int_{-1}^{1}|2t^2 + t| dt$. समाकलन को $t = -1/2$ और $t = 0$ पर विभाजित करने पर: $I = 12 \left[ \int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt + \int_{-1/2}^{0} -(2t^2 + t) dt + \int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt \right]$. प्रत्येक भाग का मूल्यांकन करने पर: $\int_{-1}^{-1/2} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1}^{-1/2} = \frac{5}{24}$. $-\int_{-1/2}^{0} (2t^2 + t) dt = -[\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{-1/2}^{0} = -\frac{1}{24}$. $\int_{0}^{1} (2t^2 + t) dt = [\frac{2}{3}t^3 + \frac{1}{2}t^2]_{0}^{1} = \frac{7}{6}$. $I = 12 \left( \frac{5}{24} + \frac{1}{24} + \frac{7}{6} \right) = 17$.

$ 6\int_{0}^{\pi}|(\sin 3x+\sin 2x+\sin x)| dx $ का मान .... है।

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