$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{a^x} - {b^x}}}{{{e^x} - 1}} = $

जहाँ $x > 0$ है,$\lim _{x \rightarrow 0^+} ((\sin x)^{\frac{1}{x}} + (\frac{1}{x})^{\sin x})$ का मान है

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{{e^{\tan x}} - {e^x}}}{{\tan x - x}} = $

एक भार एक स्प्रिंग से लटका हुआ है और उसे एक ज्यावक्रीय (sinusoidal) बल द्वारा कंपन कराया जाता है। समय $t$ पर इसका विस्थापन $s(t)$ समीकरण $s(t) = \frac{A}{c^2 - k^2} (\sin kt - \sin ct)$ द्वारा दिया गया है,जहाँ $A, c,$ और $k$ धनात्मक स्थिरांक हैं और $c \neq k$ है। तब $c \to k$ होने पर विस्थापन का सीमांत मान क्या होगा?

$\mathop {\lim }\limits_{x \to 0} \frac{{\tan 2x - x}}{{3x - \sin x}} = $

$\lim _{x \rightarrow \frac{\pi}{2}}\left(\frac{1}{\left(x-\frac{\pi}{2}\right)^2} \int_{x^3}^{\left(\frac{\pi}{2}\right)^3} \cos \left(t^{1/3}\right) d t\right)$ का मान ज्ञात कीजिए।