$\hat{i} \cdot (\hat{k} \times \hat{j}) + \hat{j} \cdot (\hat{i} \times \hat{k}) + \hat{k} \cdot (\hat{i} \times \hat{j}) = \_\_\_\_$

જો $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ અને $\vec{d}$ એકમ સદિશો હોય કે જેથી $(\vec{a} \times \vec{b}) \cdot (\vec{c} \times \vec{d}) = 1$ અને $\vec{a} \cdot \vec{c} = \frac{1}{2}$ થાય,તો:

$r \times a = b \times a$ અને $r \times b = a \times b$ ના છેદબિંદુ શોધો,જ્યાં $a = i + j$ અને $b = 2i - k$ છે.

ધારો કે $ABC$ એક ત્રિકોણ છે અને $P$ એ $ABC$ ની અંદરનું એક બિંદુ છે જેથી $\overrightarrow{PA} + 2\overrightarrow{PB} + 3\overrightarrow{PC} = \vec{0}$ થાય. $\triangle ABC$ ના ક્ષેત્રફળ અને $\triangle APC$ ના ક્ષેત્રફળનો ગુણોત્તર શોધો.

જો $\vec{a}=\hat{i}+2\hat{j}+3\hat{k}$,$\vec{b}=-\hat{i}+2\hat{j}+\hat{k}$,$\vec{c}=3\hat{i}+\hat{j}$ અને $\vec{a}+\lambda\vec{b}$ એ $\vec{c}$ ને લંબ હોય,તો $\lambda=$

જો ત્રિકોણ $ABC$ ના શિરોબિંદુઓ $A, B, C$ અનુક્રમે $(1,2,3), (-1,0,0), (0,1,2)$ હોય,તો $\angle ABC$ શોધો. $[\angle ABC \text{ એ સદિશો } \overrightarrow{BA} \text{ અને } \overrightarrow{BC} \text{ વચ્ચેનો ખૂણો છે}]$.