$\int_{a-6}^{b-6} f(x+6) dx$ किसके बराबर છે?

જો $I_{m, n} = \int_{0}^{1} x^{m-1}(1-x)^{n-1} dx$ એ $m, n \geq 1$ માટે હોય અને $\int_{0}^{1} \frac{x^{m-1}+x^{n-1}}{(1+x)^{m+n}} dx = \alpha I_{m, n}$,જ્યાં $\alpha \in R$,તો $\alpha$ ની કિંમત .... થાય.

$\int_0^{\pi / 2} \frac{d x}{1+\tan ^3 x}$ ની કિંમત શોધો:

જો $\int_{0}^{100 \pi} \frac{\sin ^{2} x}{e^{\left(\frac{x}{\pi}-\left[\frac{x}{\pi}\right]\right)}} d x=\frac{\alpha \pi^{3}}{1+4 \pi^{2}}, \alpha \in R$,જ્યાં $[x]$ એ $x$ થી નાનો અથવા તેના જેટલો મહત્તમ પૂર્ણાંક છે,તો $\alpha$ નું મૂલ્ય શોધો:

જો $a > 0$ હોય, તો $\int_{-\pi}^{\pi} \frac{\sin^2 x}{1+a^x} dx$ ની કિંમત શોધો.

ધારો કે $f: [2, 5] \to [2, 5]$ એક બાયજેક્ટિવ વિધેય છે જેથી $\frac{d}{dx}(f^{-1}(x)) > 0$ દરેક $x \in [2, 5]$ માટે,તો $\int_{2}^{5} (f(x) + f^{-1}(x)) dx$ ની કિંમત શોધો.