int {log x(log x + 2) , dx} = | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int {\log x(\log x + 2) \, dx}$.$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है।अतः,$I = \int t(t

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$x{(\log x)^2} + c$

Vedclass · Answer

(A) माना $I = \int {\log x(\log x + 2) \, dx}$.$\log x = t$ प्रतिस्थापित करने पर,जिससे $x = e^t$ और $dx = e^t \, dt$ प्राप्त होता है।अतः,$I = \int t(t + 2) e^t \, dt = \int (t^2 + 2t) e^t \, dt$.हम जानते हैं कि $\int e^t [f(t) + f'(t)] \, dt = e^t f(t) + c$.यहाँ,$f(t) = t^2$ और $f'(t) = 2t$ है।इसलिए,$I = e^t \cdot t^2 + c$.$t = \log x$ और $e^t = x$ वापस रखने पर,हमें $I = x{(\log x)^2} + c$ प्राप्त होता है।

$\int {\log x(\log x + 2) \, dx} = $

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$\int e^{-x}(x^3-2x^2+3x-4) dx=$

मान लीजिए $f(t) = \int \left( \frac{1 - \sin(\ln t)}{1 - \cos(\ln t)} \right) dt$, $t > 1$ के लिए। यदि $f(e^{\pi/2}) = -e^{\pi/2}$ और $f(e^{\pi/4}) = \alpha e^{\pi/4}$ है, तो $\alpha$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int {e^x \frac{x^2 + 1}{(x + 1)^2} dx} = $

ज्ञात कीजिए : $\int \frac{(x^{2}+1) e^{x}}{(x+1)^{2}} d x$

$\int e^{\tan^{-1} x} \left( \frac{1+x+x^2}{1+x^2} \right) dx = \rule{1cm}{0.15mm} + C$

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