int frac{3cos x + 3sin x}{4sin x + 5cos x} , | vedclass

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Question

(A) समाकलन $I = \int \frac{3\cos x + 3\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश को $A(	ext{हर}) + B(\frac{d}{dx}(	ext{हर}))$

Vedclass · Accepted Answer

$\frac{27}{41}x - \frac{3}{41}\ln |4\sin x + 5\cos x| + C$

Vedclass · Answer

(A) समाकलन $I = \int \frac{3\cos x + 3\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx$ का मूल्यांकन करने के लिए,हम अंश को $A(	ext{हर}) + B(\frac{d}{dx}(	ext{हर}))$ के रूप में व्यक्त करते हैं।माना $3\cos x + 3\sin x = A(4\sin x + 5\cos x) + B(4\cos x - 5\sin x)$.$\sin x$ और $\cos x$ के गुणांकों की तुलना करने पर:$\sin x$ के लिए: $4A - 5B = 3$$\cos x$ के लिए: $5A + 4B = 3$इन समीकरणों को हल करने पर:पहले समीकरण को $4$ से और दूसरे को $5$ से गुणा करने पर: $16A - 20B = 12$ और $25A + 20B = 15$.दोनों को जोड़ने पर: $41A = 27 \implies A = \frac{27}{41}$.$A$ का मान $5A + 4B = 3$ में रखने पर: $5(\frac{27}{41}) + 4B = 3 \implies \frac{135}{41} + 4B = 3 \implies 4B = 3 - \frac{135}{41} = -\frac{12}{41} \implies B = -\frac{3}{41}$.अतः,$I = \int \frac{A(4\sin x + 5\cos x) + B(4\cos x - 5\sin x)}{4\sin x + 5\cos x} \, dx = A \int 1 \, dx + B \int \frac{4\cos x - 5\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx$.$I = \frac{27}{41}x - \frac{3}{41} \ln |4\sin x + 5\cos x| + C$.

$\int \frac{3\cos x + 3\sin x}{4\sin x + 5\cos x} \, dx = $

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यदि $\int \frac{1}{\sqrt[5]{(x-1)^4(x+3)^6}} dx = A\left(\frac{\alpha x-1}{\beta x+3}\right)^B + C,$ जहाँ $C$ समाकलन का स्थिरांक है,तो $\alpha + \beta + 20AB$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int \frac{dx}{(1 + \sqrt{x}) \cdot \sqrt{x} \sqrt{1 - x}}$ का मान ज्ञात कीजिए (जहाँ $c$ एक समाकलन स्थिरांक है)

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