int_a^b frac{log x}{x} , dx = | vedclass

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Question

(C) माना $I = \int_a^b \frac{\log x}{x} \, dx$. $u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{1}{x} \, dx$ प्राप्त होता है। जब $x = a$ है,तो $u = \log

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$\frac{1}{2} \log (ab) \log \left( \frac{b}{a} \right)$

Vedclass · Answer

(C) माना $I = \int_a^b \frac{\log x}{x} \, dx$. $u = \log x$ प्रतिस्थापित करने पर,$du = \frac{1}{x} \, dx$ प्राप्त होता है। जब $x = a$ है,तो $u = \log a$ है। जब $x = b$ है,तो $u = \log b$ है। अतः,$I = \int_{\log a}^{\log b} u \, du$. $I = \left[ \frac{u^2}{2} \right]_{\log a}^{\log b} = \frac{1}{2} [(\log b)^2 - (\log a)^2]$. सर्वसमिका $x^2 - y^2 = (x + y)(x - y)$ का उपयोग करने पर: $I = \frac{1}{2} [(\log b + \log a)(\log b - \log a)]$. चूंकि $\log b + \log a = \log (ab)$ और $\log b - \log a = \log \left( \frac{b}{a} \right)$,अतः $I = \frac{1}{2} \log (ab) \log \left( \frac{b}{a} \right)$.

$\int_a^b \frac{\log x}{x} \, dx = $

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$\int_0^1 \sin^{-1} x \, dx = $ . . . . . . .

समाकलन $\int \limits_{-\log _{e} 2}^{\log _e 2} e^x \ln \left(e^x+\sqrt{1+e^{2 x}}\right) d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

समाकलन $\int_{-1/2}^{1/2} \left[ \left( \frac{x+1}{x-1} \right)^2 + \left( \frac{x-1}{x+1} \right)^2 - 2 \right]^{1/2} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^{\pi /4} \frac{1 + \tan x}{1 - \tan x} \, dx$ का मान है

मान लीजिए $l = \mathop {Lim}\limits_{x \to \infty } \int\limits_x^{2x} \frac{dt}{t}$ और $m = \mathop {Lim}\limits_{x \to \infty } \frac{1}{x \ln x} \int\limits_1^x \ln t \, dt$ है,तो सही कथन है:

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