int_0^1 frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} ,dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \,dx$. $t = 1 + e^{-x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -e^{-x} \,dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e^{-x

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इनमें से कोई नहीं

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^1 \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \,dx$. $t = 1 + e^{-x}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dt = -e^{-x} \,dx$ प्राप्त होता है,जिसका अर्थ है $e^{-x} \,dx = -dt$. जब $x = 0$,तब $t = 1 + e^0 = 2$. जब $x = 1$,तब $t = 1 + e^{-1} = 1 + \frac{1}{e} = \frac{e+1}{e}$. इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_2^{\frac{e+1}{e}} \frac{-dt}{t} = -[\log |t|]_2^{\frac{e+1}{e}}$. $I = -\left( \log \left( \frac{e+1}{e} \right) - \log 2 \right) = \log 2 - \log \left( \frac{e+1}{e} \right) = \log \left( \frac{2e}{e+1} \right)$. अतः,दिए गए विकल्पों में से कोई भी सही नहीं है। इसलिए,सही उत्तर $(D)$ है।

$\int_0^1 \frac{e^{-x}}{1 + e^{-x}} \,dx = $

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निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \cos 2x \, dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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