int_0^pi frac{x tan x}{sec x + tan x} ,dx = | vedclass

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Question

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x + 	an x} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \left( \frac{\pi}{2} - 1 \right)$

Vedclass · Answer

(D) माना $I = \int_0^\pi \frac{x 	an x}{\sec x + 	an x} \,dx$. गुणधर्म $\int_0^a f(x) \,dx = \int_0^a f(a-x) \,dx$ का उपयोग करने पर: $I = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) 	an(\pi - x)}{\sec(\pi - x) + 	an(\pi - x)} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x)(-	an x)}{-\sec x - 	an x} \,dx = \int_0^\pi \frac{(\pi - x) 	an x}{\sec x + 	an x} \,dx$. $I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर: $2I = \int_0^\pi \frac{\pi 	an x}{\sec x + 	an x} \,dx = \pi \int_0^\pi \frac{\sin x}{1 + \sin x} \,dx$. $2I = \pi \int_0^\pi \frac{1 + \sin x - 1}{1 + \sin x} \,dx = \pi \left( \int_0^\pi 1 \,dx - \int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} \,dx ight)$. चूंकि $\int_0^\pi \frac{1}{1 + \sin x} \,dx = \int_0^\pi \frac{1 - \sin x}{\cos^2 x} \,dx = \int_0^\pi (\sec^2 x - \sec x 	an x) \,dx = [	an x - \sec x]_0^\pi = (0 - (-1)) - (0 - 1) = 2$. अतः,$2I = \pi (\pi - 2) = \pi^2 - 2\pi$. इसलिए,$I = \frac{\pi^2}{2} - \pi = \pi \left( \frac{\pi}{2} - 1 ight)$.

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x + \tan x} \,dx = $

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यदि $f(x) = \int\limits_1^x \frac{\ln t}{1 + t} dt$ जहाँ $x > 0$ है,तो समीकरण $f(x) + f(1/x) = 0$ को संतुष्ट करने वाले $x$ का/के मान है/हैं:

$\int_{-1}^{1} \frac{x^{3} + |x| + 3}{x^{2} + 4|x| + 3} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \sin x}{1+\cos ^2 x} d x=$

समाकलन $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$ का मान है

$\int_{0}^{1} \frac{dx}{x + \sqrt{1 - x^2}}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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