समाकलन int_0^{infty} frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2} | vedclass

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Question

(B) माना $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x

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$\frac{1}{2}$

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(B) माना $I = \int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$.$x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।जब $x = 0$,तब $	heta = 0$,और जब $x 	o \infty$,तब $	heta = \frac{\pi}{2}$.$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{(1+	an^2 	heta)(1+	an 	heta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta \, d	heta}{\sec^2 	heta (1+	an 	heta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{d	heta}{(1+	an 	heta)^2}$.गुणधर्म $\int_0^a f(	heta) \, d	heta = \int_0^a f(a-	heta) \, d	heta$ का उपयोग करने पर:$I = \int_0^{\pi/2} \frac{d	heta}{(1+	an(\frac{\pi}{2}-	heta))^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{d	heta}{(1+\cot 	heta)^2} = \int_0^{\pi/2} \frac{	an^2 	heta \, d	heta}{(	an 	heta + 1)^2}$.$I$ के दोनों व्यंजकों को जोड़ने पर:$2I = \int_0^{\pi/2} \frac{1 + 	an^2 	heta}{(1+	an 	heta)^2} \, d	heta = \int_0^{\pi/2} \frac{\sec^2 	heta}{(1+	an 	heta)^2} \, d	heta$.$u = 1 + 	an 	heta$ रखने पर,$du = \sec^2 	heta \, d	heta$ प्राप्त होता है।$2I = \int_1^{\infty} \frac{du}{u^2} = \left[ -\frac{1}{u} ight]_1^{\infty} = 0 - (-1) = 1$.अतः,$I = \frac{1}{2}$.

समाकलन $\int_0^{\infty} \frac{dx}{(1+x^2)(1+x)^2}$ का मान है

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$\int_{0}^{\pi} \frac{e^{\cos x}}{e^{\cos x}+e^{-\cos x}} d x=$

$\int_0^\pi x \sin^3 x \cos^2 x \, dx =$

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