int_{0}^{pi /2} frac{2^{sin x}}{2^{sin x} + 2 | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपय

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$\frac{\pi}{4}$

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(A) माना $I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ ....$(i)$गुणधर्म $\int_{0}^{a} f(x) dx = \int_{0}^{a} f(a-x) dx$ का उपयोग करने पर:$I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin(\pi/2 - x)}}{2^{\sin(\pi/2 - x)} + 2^{\cos(\pi/2 - x)}} dx$चूंकि $\sin(\pi/2 - x) = \cos x$ और $\cos(\pi/2 - x) = \sin x$,इसलिए:$I = \int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\cos x}}{2^{\cos x} + 2^{\sin x}} dx$ ....$(ii)$समीकरण $(i)$ और $(ii)$ को जोड़ने पर:$2I = \int_{0}^{\pi /2} \left( \frac{2^{\sin x} + 2^{\cos x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} \right) dx$$2I = \int_{0}^{\pi /2} 1 dx$$2I = [x]_{0}^{\pi /2} = \frac{\pi}{2}$$I = \frac{\pi}{4}$.

$\int_{0}^{\pi /2} \frac{2^{\sin x}}{2^{\sin x} + 2^{\cos x}} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 1 + i\sqrt{2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं, जहाँ $a, b, c \in R$, तो $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

$\int_0^\pi \frac{\theta \sin \theta}{1+\cos ^2 \theta} d \theta$ का मान ज्ञात कीजिए।

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$\int_{-\pi / 8}^{\pi / 8} \frac{\sin ^4(4 x)}{1+e^{4 x}} d x=$

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