यदि alpha = 1 और beta = 1 + isqrt{2}, जहाँ i | vedclass

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Question

(C) चूंकि गुणांक $a, b, c$ वास्तविक हैं, इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। यदि $\beta = 1 + i\sqrt{2}$ एक मूल है, तो इसका संयुग्

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-$8$

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(C) चूंकि गुणांक $a, b, c$ वास्तविक हैं, इसलिए सम्मिश्र मूल हमेशा संयुग्मी युग्मों में होते हैं। यदि $\beta = 1 + i\sqrt{2}$ एक मूल है, तो इसका संयुग्मी $\bar{\beta} = 1 - i\sqrt{2}$ भी एक मूल होगा।त्रिघात समीकरण के मूल $1, 1 + i\sqrt{2}$, और $1 - i\sqrt{2}$ हैं।बहुपद को $(x - 1)(x - (1 + i\sqrt{2}))(x - (1 - i\sqrt{2}))$ के रूप में लिखा जा सकता है।$= (x - 1)((x - 1)^2 - (i\sqrt{2})^2) = (x - 1)((x - 1)^2 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 1 + 2) = (x - 1)(x^2 - 2x + 3)$.$= x^3 - 2x^2 + 3x - x^2 + 2x - 3 = x^3 - 3x^2 + 5x - 3$.इसे $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के साथ तुलना करने पर, हमें $a = -3, b = 5, c = -3$ प्राप्त होता है।हमें $\int_{-1}^{1} (x^3 - 3x^2 + 5x - 3) dx$ का मान ज्ञात करना है।चूंकि $x^3$ और $5x$ विषम फलन हैं, इसलिए सममित अंतराल $[-1, 1]$ पर उनका समाकलन $0$ होता है।अतः, समाकलन $\int_{-1}^{1} (-3x^2 - 3) dx = 2 \int_{0}^{1} (-3x^2 - 3) dx$ हो जाएगा।$= 2 [-x^3 - 3x]_0^1 = 2(-1 - 3) = 2(-4) = -8$.

यदि $\alpha = 1$ और $\beta = 1 + i\sqrt{2}$, जहाँ $i = \sqrt{-1}$ समीकरण $x^3 + ax^2 + bx + c = 0$ के दो मूल हैं, जहाँ $a, b, c \in R$, तो $\int_{-1}^{1} (x^3 + ax^2 + bx + c) dx$ का मान ज्ञात कीजिए:

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यदि $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{dx}{1 + \sin x + \cos x} = \ln 2$ दिया गया है,तो निश्चित समाकल $\int_{0}^{\frac{\pi}{2}} \frac{\sin x}{1 + \sin x + \cos x} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

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