int_0^infty frac{log(1 + x^2)}{1 + x^2} ,dx = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ प्राप्त होता

Vedclass · Accepted Answer

$\pi \log 2$

Vedclass · Answer

(B) माना $I = \int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx$ है। $x = 	an 	heta$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = \sec^2 	heta \,d	heta$ प्राप्त होता है। जब $x = 0$ तब $	heta = 0$ और जब $x 	o \infty$ तब $	heta = \frac{\pi}{2}$ होता है। अतः,$I = \int_0^{\pi/2} \frac{\log(1 + 	an^2 	heta)}{1 + 	an^2 	heta} \cdot \sec^2 	heta \,d	heta$. चूँकि $1 + 	an^2 	heta = \sec^2 	heta$,इसलिए $I = \int_0^{\pi/2} \log(\sec^2 	heta) \,d	heta$. $\log(a^b) = b \log a$ गुणधर्म का उपयोग करने पर,$I = 2 \int_0^{\pi/2} \log(\sec 	heta) \,d	heta$. चूँकि $\sec 	heta = \frac{1}{\cos 	heta}$,इसलिए $\log(\sec 	heta) = -\log(\cos 	heta)$ होता है। अतः,$I = -2 \int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta$. मानक समाकलन $\int_0^{\pi/2} \log(\cos 	heta) \,d	heta = -\frac{\pi}{2} \log 2$ का उपयोग करने पर: $I = -2 \left( -\frac{\pi}{2} \log 2 ight) = \pi \log 2$.

$\int_0^\infty \frac{\log(1 + x^2)}{1 + x^2} \,dx = $

Similar Questions

$\int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx =$

मान लीजिए कि $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x}}{2}} \right)} dx = \alpha $ है,तो $\int\limits_0^1 {{{\tan }^{ - 1}}\left( {\frac{{\tan x - 2\cot x}}{3}} \right)} dx$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_0^\pi \frac{x \tan x}{\sec x+\tan x} d x$ का मान ज्ञात कीजिए।

$\int_{2}^{4} \frac{\log(x^2)}{\log(x^2) + \log(36 - 12x + x^2)} \, dx = $

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module