int_0^{infty} (x^{12} + x^{-12}) frac{log x}{ | vedclass

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Question

(A) माना $I = \int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx$. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है

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(A) माना $I = \int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx$. $x = \frac{1}{t}$ प्रतिस्थापित करने पर,$dx = -\frac{1}{t^2} dt$ प्राप्त होता है। जब $x 	o 0$,तब $t 	o \infty$ और जब $x 	o \infty$,तब $t 	o 0$। साथ ही,$\log x = \log(t^{-1}) = -\log t$। इन मानों को समाकलन में रखने पर: $I = \int_{\infty}^0 (t^{-12} + t^{12}) \frac{-\log t}{1/t} \left(-\frac{1}{t^2}ight) dt$. $I = \int_{\infty}^0 (t^{-12} + t^{12}) \frac{-\log t}{t} dt$. $I = -\int_0^{\infty} (t^{-12} + t^{12}) \frac{\log t}{t} dt$. चूंकि समाकलन का चर एक डमी चर है,हम $t$ को $x$ से बदल सकते हैं: $I = -\int_0^{\infty} (x^{-12} + x^{12}) \frac{\log x}{x} dx$. $I = -I$. $2I = 0 \Rightarrow I = 0$.

$\int_0^{\infty} (x^{12} + x^{-12}) \frac{\log x}{x} dx =$

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