यदि a_1 a_2 a_3 dots a_n = 1 और सभी i = 1, 2, | vedclass

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Question

(B) हमें व्यंजक $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ दिया गया है,जहाँ $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ और $a_i > 0$ है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$

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$3^n$

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(B) हमें व्यंजक $P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2)$ दिया गया है,जहाँ $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$ और $a_i > 0$ है।समांतर माध्य-गुणोत्तर माध्य ($AM$-$GM$) असमिका के अनुसार,प्रत्येक पद $(1 + a_i + a_i^2)$ के लिए:$\frac{1 + a_i + a_i^2}{3} \ge \sqrt[3]{1 \cdot a_i \cdot a_i^2} = \sqrt[3]{a_i^3} = a_i$.अतः,$1 + a_i + a_i^2 \ge 3a_i$.इन असमिकाओं का $i = 1$ से $n$ तक गुणा करने पर:$P = \prod_{i=1}^{n} (1 + a_i + a_i^2) \ge \prod_{i=1}^{n} (3a_i) = 3^n \prod_{i=1}^{n} a_i$.चूंकि $\prod_{i=1}^{n} a_i = 1$,इसलिए $P \ge 3^n \cdot 1 = 3^n$.समानता तब प्राप्त होती है जब $1 = a_i = a_i^2$,जिसका अर्थ है कि प्रत्येक $i$ के लिए $a_i = 1$ है।अतः,न्यूनतम मान $3^n$ है।

यदि $a_1 a_2 a_3 \dots a_n = 1$ और सभी $i = 1, 2, \dots, n$ के लिए $a_i > 0$ है,तो $(1 + a_1 + a_1^2)(1 + a_2 + a_2^2)(1 + a_3 + a_3^2) \dots (1 + a_n + a_n^2)$ का न्यूनतम मान क्या है?

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