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Question

(A) $n$ वां पद $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है। $n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ की गणना करते हैं। मानक योग सूत्रों $\

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$\frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$

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(A) $n$ वां पद $a_n = n(n + 1) = n^2 + n$ है। $n$ पदों का योग ज्ञात करने के लिए,$S_n = \sum_{k=1}^{n} (k^2 + k)$ की गणना करते हैं। मानक योग सूत्रों $\sum_{k=1}^{n} k^2 = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6}$ और $\sum_{k=1}^{n} k = \frac{n(n + 1)}{2}$ का उपयोग करने पर: $S_n = \frac{n(n + 1)(2n + 1)}{6} + \frac{n(n + 1)}{2}$ प्राप्त होता है। $\frac{n(n + 1)}{2}$ को उभयनिष्ठ लेने पर: $S_n = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 1}{3} + 1 \right) = \frac{n(n + 1)}{2} \left( \frac{2n + 4}{3} \right) = \frac{n(n + 1)(n + 2)}{3}$.

यदि किसी अनुक्रम का $n$ वां पद $n(n + 1)$ है,तो इसके $n$ पदों का योग क्या होगा?

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यदि $1^4+2^4+3^4+\ldots+n^4=f(n) \left(1^2+2^2+\ldots+n^2\right)$,सभी $n \in N$ के लिए,तो $f(4)$ का मान ज्ञात कीजिए।

श्रेणी $\frac{3 \times 1}{1^2} + \frac{5 \times (1^3 + 2^3)}{1^2 + 2^2} + \frac{7 \times (1^3 + 2^3 + 3^3)}{1^2 + 2^2 + 3^2} + \dots$ के $10$ वें पद तक का योग क्या है?

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$1^3 - 2^3 + 3^3 - \dots + 15^3$ का मान ज्ञात कीजिए:

मान लीजिए $[\alpha]$ सबसे बड़ा पूर्णांक $\leq \alpha$ दर्शाता है। तो $[\sqrt{1}]+[\sqrt{2}]+[\sqrt{3}]+\ldots +[\sqrt{120}]$ का मान ज्ञात कीजिए।

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