જો sum_{k=1}^n left( sum_{m=1}^k m^2 right) = | vedclass

Name: Exam Paper Generator | JEE NEET Paper Generator | Vedclass
Brand: Vedclass
Rating: 5 (35 reviews)

Question

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.તેથી,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \fr

Vedclass · Accepted Answer

$a = \frac{1}{12}$

Vedclass · Answer

(A) આપણે જાણીએ છીએ કે $\sum_{m=1}^k m^2 = \frac{k(k+1)(2k+1)}{6} = \frac{2k^3 + 3k^2 + k}{6}$.તેથી,$\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = \frac{1}{6} \sum_{k=1}^n (2k^3 + 3k^2 + k)$.$= \frac{1}{6} \left[ 2 \sum k^3 + 3 \sum k^2 + \sum k \right]$.$= \frac{1}{6} \left[ 2 \frac{n^2(n+1)^2}{4} + 3 \frac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \frac{n(n+1)}{2} \right]$.$= \frac{1}{12} n^2(n^2+2n+1) + \frac{1}{12} (2n^3+3n^2+n) + \frac{1}{12} (n^2+n)$.$= \frac{1}{12} (n^4 + 2n^3 + n^2 + 2n^3 + 3n^2 + n + n^2 + n) = \frac{1}{12} n^4 + \frac{4}{12} n^3 + \frac{5}{12} n^2 + \frac{2}{12} n$.$an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ સાથે સરખાવતા,આપણને $a = \frac{1}{12}$,$b = \frac{1}{3}$,$c = \frac{5}{12}$,$d = \frac{1}{6}$,અને $e = 0$ મળે છે.આમ,$a = \frac{1}{12}$ સાચું છે.

જો $\sum_{k=1}^n \left( \sum_{m=1}^k m^2 \right) = an^4 + bn^3 + cn^2 + dn + e$ હોય,તો નીચેનામાંથી શું સાચું છે?

Similar Questions

શ્રેણી $\frac{1}{2} + \frac{3}{4} + \frac{7}{8} + \frac{15}{16} + \dots$ ના પ્રથમ $n$ પદોનો સરવાળો શું થાય?

$1 \times 3 \times 5, 3 \times 5 \times 7, 5 \times 7 \times 9, \dots$ શ્રેણીના પ્રથમ $n$ પદોનો સમાંતર મધ્યક કેટલો થાય?

શ્રેણી $1^2 + (1^2 + 3^2) + (1^2 + 3^2 + 5^2) + \dots$ ના $n$ પદોનો સરવાળો શોધો.

સરવાળો,$\sum_{n=1}^{7} \frac{n(n+1)(2n+1)}{4}$ બરાબર છે

$6 + 66 + 666 + \dots$ શ્રેણીનો $n$ પદો સુધીનો સરવાળો કેટલો થાય?

Vedclass Test Series

Exam Paper Generator

Online Exam Module