यदि समीकरण $x^3 - 12x^2 + 39x - 28 = 0$ के मूल समांतर श्रेणी में हैं,तो सार्व अंतर क्या है?

मान लीजिए $a_1, a_2, \ldots, a_n$ एक समांतर श्रेणी ($A$.$P$.) में हैं। यदि $a_5 = 2a_3$ और $a_{11} = 18$ है,तो $12\left(\frac{1}{\sqrt{a_{10}}+\sqrt{a_{11}}} + \frac{1}{\sqrt{a_{11}}+\sqrt{a_{12}}} + \ldots + \frac{1}{\sqrt{a_{17}}+\sqrt{a_{18}}}\right)$ का मान $..........$ है।

मान लीजिए $9 < x_1 < x_2 < \ldots < x_7$ एक $A.P.$ में हैं जिनका सार्व अंतर $d$ है। यदि $x_1, x_2, \ldots, x_7$ का मानक विचलन $4$ है और माध्य $\overline{x}$ है,तो $\overline{x} + x_6$ का मान ज्ञात कीजिए:

यदि $a_1, a_2, \dots, a_n$ धनात्मक वास्तविक संख्याएँ हैं जिनका गुणनफल एक अचर $c$ है,तो $a_1 + a_2 + \dots + a_{n-1} + 2a_n$ का न्यूनतम मान क्या है?

मान लीजिए $a_{1}, a_{2}, \ldots, a_{n}, \ldots$ प्राकृतिक संख्याओं की एक समांतर श्रेणी है। यदि श्रेणी के प्रथम पाँच पदों के योग और प्रथम नौ पदों के योग का अनुपात $5:17$ है और $110 < a_{15} < 120$ है,तो श्रेणी के प्रथम दस पदों का योग किसके बराबर है?

मान लीजिए $a, b, c, d, e$ समांतर श्रेणी में प्राकृतिक संख्याएँ हैं,इस प्रकार कि $a+b+c+d+e$ एक पूर्णांक का घन है और $b+c+d$ एक पूर्णांक का वर्ग है। $c$ के अंकों की संख्या का न्यूनतम संभव मान क्या है?