જો $a, b, c$ સમાંતર શ્રેણીમાં હોય,તો $(a - c)^2 = \dots$

વિધાન-$I$: જો શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો $6n^2 + 3n + 1$ હોય,તો તે સમાંતર શ્રેણી $(AP)$ છે.
વિધાન-$II$: સમાંતર શ્રેણીના $n$ પદોનો સરવાળો હંમેશા $an^2 + bn$ સ્વરૂપમાં હોય છે.

ધારો કે $S = \{(a, b, c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} : a+b+c=21, a \leq b \leq c\}$ અને $T = \{(a, b, c) \in \mathbb{N} \times \mathbb{N} \times \mathbb{N} : a, b, c \text{ સમાંતર શ્રેણીમાં છે}\}$, જ્યાં $\mathbb{N}$ એ તમામ પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓનો ગણ છે. તો, ગણ $S \cap T$ માં ઘટકોની સંખ્યા છે:

ચાર સંખ્યાઓ સમાંતર શ્રેણીમાં છે. પ્રથમ અને અંતિમ પદનો સરવાળો $8$ છે અને બંને મધ્યમ પદોનો ગુણાકાર $15$ છે. શ્રેણીની સૌથી નાની સંખ્યા કઈ છે?

જો સમાંતર શ્રેણીના $p$ પદોનો સરવાળો તેના $q$ પદોના સરવાળા જેટલો હોય,તો તેના $(p + q)$ પદોનો સરવાળો કેટલો થશે?

જો સમીકરણ $6x^3-11x^2+6x-1=0$ ના બીજ હરાત્મક શ્રેણીમાં હોય,તો $x^3-6x^2+11x-6=0$ ના બીજ શેમાં હશે?