यदि X = sum_{n=0}^infty a^n,Y = sum_{n=0}^inf | vedclass

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Question

(D) दिया गया है कि $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$,$Y = \sum_{n=0}^\infty b^n = \frac{1}{1-b}$,और $Z = \sum_{n=0}^\infty c^n = \frac{1}{1-

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हरात्मक श्रेणी

Vedclass · Answer

(D) दिया गया है कि $X = \sum_{n=0}^\infty a^n = \frac{1}{1-a}$,$Y = \sum_{n=0}^\infty b^n = \frac{1}{1-b}$,और $Z = \sum_{n=0}^\infty c^n = \frac{1}{1-c}$.चूंकि $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं,इसलिए $2b = a + c$ है।हमें यह जांचना है कि क्या $X, Y, Z$ हरात्मक श्रेणी में हैं,जिसके लिए $\frac{2}{Y} = \frac{1}{X} + \frac{1}{Z}$ होना चाहिए।मान रखने पर: $\frac{1}{X} = 1-a$,$\frac{1}{Y} = 1-b$,और $\frac{1}{Z} = 1-c$.अतः $\frac{1}{X} + \frac{1}{Z} = (1-a) + (1-c) = 2 - (a+c)$.चूंकि $a+c = 2b$,यह $2 - 2b = 2(1-b) = 2(\frac{1}{Y}) = \frac{2}{Y}$ हो जाता है।इस प्रकार,$X, Y, Z$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

यदि $X = \sum_{n=0}^\infty a^n$,$Y = \sum_{n=0}^\infty b^n$,और $Z = \sum_{n=0}^\infty c^n$,जहाँ $a, b, c$ समांतर श्रेणी में हैं और $|a| < 1, |b| < 1, |c| < 1$,तो $X, Y, Z$ किस श्रेणी में हैं?

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