यदि sumlimits_{r=1}^infty frac{1}{(2r-1)^2} = | vedclass

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Question

(C) माना $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$हम इसे विषम और सम पदों मे

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$\frac{\pi^2}{6}$

Vedclass · Answer

(C) माना $S = \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{1^2} + \frac{1}{2^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{4^2} + \dots$हम इसे विषम और सम पदों में विभाजित कर सकते हैं:$S = \left( \frac{1}{1^2} + \frac{1}{3^2} + \frac{1}{5^2} + \dots ight) + \left( \frac{1}{2^2} + \frac{1}{4^2} + \frac{1}{6^2} + \dots ight)$दिया गया है कि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$,इसलिए विषम पदों का योग $\frac{\pi^2}{8}$ है।सम पदों का योग $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r)^2} = \frac{1}{4} \sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \frac{1}{4} S$ है।अतः,$S = \frac{\pi^2}{8} + \frac{1}{4} S$.$S - \frac{1}{4} S = \frac{\pi^2}{8} \implies \frac{3}{4} S = \frac{\pi^2}{8}$.$S = \frac{\pi^2}{8} 	imes \frac{4}{3} = \frac{\pi^2}{6}$.

यदि $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{(2r-1)^2} = \frac{\pi^2}{8}$ है,तो $\sum\limits_{r=1}^\infty \frac{1}{r^2} = \dots$

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