यदि x 1, y 1, z 1 गुणोत्तर श्रेणी में ह | vedclass

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Question

(B) दिया गया है कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $y^2 = xz$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y^2) = \ln(xz)$,जो सरल होकर $2 \l

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हरात्मक श्रेणी

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(B) दिया गया है कि $x, y, z$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,इसलिए $y^2 = xz$। दोनों पक्षों का प्राकृतिक लघुगणक लेने पर,$\ln(y^2) = \ln(xz)$,जो सरल होकर $2 \ln y = \ln x + \ln z$ हो जाता है। इसका अर्थ है कि $\ln x, \ln y, \ln z$ समांतर श्रेणी में हैं। प्रत्येक पद में $1$ जोड़ने पर,$1 + \ln x, 1 + \ln y, 1 + \ln z$ प्राप्त होते हैं,जो भी समांतर श्रेणी में हैं। चूंकि समांतर श्रेणी के पदों के व्युत्क्रम हरात्मक श्रेणी बनाते हैं,इसलिए $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ हरात्मक श्रेणी में हैं।

यदि $x > 1, y > 1, z > 1$ गुणोत्तर श्रेणी में हैं,तो $\frac{1}{1 + \ln x}, \frac{1}{1 + \ln y}, \frac{1}{1 + \ln z}$ किस श्रेणी में होंगे?

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$\sum\limits_{k = 1}^{11} {\left( {2 + {3^k}} \right)} $ का मान ज्ञात कीजिए।

यदि $a_{1} (>0), a_{2}, a_{3}, a_{4}, a_{5}$ एक $G$.$P$. में हैं,$a_{2} + a_{4} = 2a_{3} + 1$ और $3a_{2} + a_{3} = 2a_{4}$ है,तो $a_{2} + a_{4} + 2a_{5}$ का मान ज्ञात कीजिए।

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यदि एक $G.P.$ के $4^{\text{th}}$,$10^{\text{th}}$ और $16^{\text{th}}$ पद क्रमशः $x, y$ और $z$ हैं,तो सिद्ध कीजिए कि $x, y, z$ एक $G.P.$ में हैं।

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