श्रेणी frac{3}{1 cdot 2} cdot frac{1}{2} + fr | vedclass

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Question

(A) $n$-वां पद $t_n = \frac{n+2}{n(n+1)} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n$ है। हम $\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \f

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$1 - \frac{1}{(n + 1) 2^n}$

Vedclass · Answer

(A) $n$-वां पद $t_n = \frac{n+2}{n(n+1)} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^n$ है। हम $\frac{n+2}{n(n+1)} = \frac{2(n+1) - n}{n(n+1)} = \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1}$ लिख सकते हैं। अतः,$t_n = \left( \frac{2}{n} - \frac{1}{n+1} \right) \left( \frac{1}{2} \right)^n = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1} - \frac{1}{n+1} \left( \frac{1}{2} \right)^n$. माना $f(n) = \frac{1}{n} \left( \frac{1}{2} \right)^{n-1}$. तब $t_n = f(n) - f(n+1)$. योग $S_n = \sum_{k=1}^n t_k = f(1) - f(n+1)$. $f(1) = 1$ और $f(n+1) = \frac{1}{(n+1) 2^n}$. अतः,$S_n = 1 - \frac{1}{(n+1) 2^n}$.

श्रेणी $\frac{3}{1 \cdot 2} \cdot \frac{1}{2} + \frac{4}{2 \cdot 3} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^2 + \frac{5}{3 \cdot 4} \cdot \left( \frac{1}{2} \right)^3 + \dots$ के $n$ पदों का योग ज्ञात कीजिए।

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