$\sum\limits_{1 < p < 100} {p! - \sum\limits_{n = 1}^{50} {(2n)!} }$ का इकाई अंक ज्ञात कीजिए।

$6$ अलग-अलग उपन्यासों और $3$ अलग-अलग शब्दकोशों में से,$4$ उपन्यासों और $1$ शब्दकोश का चयन करके एक शेल्फ पर एक पंक्ति में इस प्रकार व्यवस्थित किया जाना है कि शब्दकोश हमेशा बीच में रहे। ऐसी व्यवस्थाओं की संख्या है:

"$INTERMEDIATE$" शब्द के अक्षरों से ऐसे कितने अलग शब्द बनाए जा सकते हैं कि दो स्वर कभी भी एक साथ न आएं?

$A, B, C, D, E, F, G, H, I, J$ अक्षरों का उपयोग करके $10$ लंबाई के शब्द बनाए जाते हैं। मान लीजिए $x$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें कोई अक्षर दोहराया नहीं जाता है और $y$ ऐसे शब्दों की संख्या है जिनमें ठीक दो अक्षर दो बार दोहराए जाते हैं और कोई अन्य अक्षर दोहराया नहीं जाता है,तो $\frac{y}{x}$ का मान ज्ञात कीजिए।

मान लीजिए $S_1 = \{(i, j, k) : i, j, k \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_2 = \{(i, j) : 1 \leq i < j + 2 \leq 10, i, j \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_3 = \{(i, j, k, l) : 1 \leq i < j < k < l, i, j, k, l \in \{1, 2, \ldots, 10\}\}$,$S_4 = \{(i, j, k, l) : i, j, k \text{ और } l \text{ समुच्चय } \{1, 2, \ldots, 10\} \text{ में भिन्न अवयव हैं}\}$. यदि समुच्चय $S_r$ में अवयवों की कुल संख्या $n_r$ है,जहाँ $r = 1, 2, 3, 4$,तो निम्नलिखित में से कौन सा/से कथन सत्य है/हैं?
$(A) n_1 = 1000$
$(B) n_2 = 44$
$(C) n_3 = 220$
$(D) \frac{n_4}{12} = 420$

$7$ व्यंजनों और $4$ स्वरों में से, ऐसे शब्द बनाए जाते हैं जिनमें प्रत्येक में $3$ व्यंजन और $2$ स्वर हों। ऐसे कितने शब्द बनाए जा सकते हैं?