જો $^{15}C_{3r} = ^{15}C_{r+3}$ હોય,તો $r$ નું મૂલ્ય શોધો.

$7$ વ્યંજનો અને $4$ સ્વરોમાંથી, $3$ વ્યંજનો અને $2$ સ્વરો ધરાવતા કેટલા શબ્દો (અર્થપૂર્ણ હોવા જરૂરી નથી) બનાવી શકાય?

એક ગણમાં $(2n + 1)$ ઘટકો છે. આ ગણના વધુમાં વધુ $n$ ઘટકો ધરાવતા ઉપગણોની સંખ્યા કેટલી થાય?

જો ${ }^{n-3} C_r + B \cdot { }^{n-3} C_{r-1} + B^{\prime} \cdot { }^{n-3} C_{r-2} + { }^{n-3} C_{r-3} = { }^n C_r$ એ તમામ $n \geq r \geq 3$ માટે સાચું હોય,તો $(B, B^{\prime}) = $.

'$CORGOO$' શબ્દમાંથી કોઈપણ ચાર અક્ષરો પસંદ કરવાની રીતોની સંખ્યા કેટલી છે?

ક્રમિત જોડીઓ $(r, k)$ ની સંખ્યા શોધો જેના માટે $6 \cdot ^{35}C_{r} = (k^{2} - 3) \cdot ^{36}C_{r+1}$ થાય,જ્યાં $k$ એ પૂર્ણાંક છે.