यदि $\binom{a^2+a}{3} = \binom{a^2+a}{9}$ है,तो $a = \dots$

$\binom{15}{8} + \binom{15}{9} - \binom{15}{6} - \binom{15}{7} = \dots$

एक चुनाव में,एक मतदाता कितने भी उम्मीदवारों को वोट दे सकता है लेकिन चुने जाने वाले उम्मीदवारों की संख्या से अधिक नहीं। कुल $10$ उम्मीदवार हैं और $4$ को चुना जाना है। यदि मतदाता को कम से कम एक उम्मीदवार को वोट देना है,तो वह कितने तरीकों से वोट दे सकता है?

$6$ पुरुषों और $4$ महिलाओं में से $5$ सदस्यों की एक समिति कितने तरीकों से बनाई जा सकती है यदि समिति में कम से कम एक महिला हो?

$2$ पुरुषों और $3$ महिलाओं के समूह से $3$ व्यक्तियों की एक समिति का गठन किया जाना है। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है? इनमें से कितनी समितियों में $1$ पुरुष और $2$ महिलाएँ होंगी?

$^nC_r \div ^nC_{r-1} = $