एक चुनाव में,उम्मीदवारों की संख्या चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या से $1$ अधिक है। यदि मतदाता $254$ तरीकों से अपना वोट डाल सकते हैं,तो उम्मीदवारों की संख्या ज्ञात कीजिए। (एक मतदाता चुने जाने वाले व्यक्तियों की संख्या से अधिक वोट नहीं डाल सकता है।)

एक छात्र को परीक्षा में $13$ में से $10$ प्रश्नों के उत्तर देने हैं,जिसमें उसे पहले $6$ प्रश्नों में से कम से कम $5$ प्रश्न चुनने हैं। छात्र के पास उपलब्ध विकल्पों की संख्या है:

एक परीक्षा में,एक प्रश्न पत्र में $12$ प्रश्न हैं जो दो भागों में विभाजित हैं,यानी भाग $I$ और भाग $II$,जिनमें क्रमशः $5$ और $7$ प्रश्न हैं। एक छात्र को कुल $8$ प्रश्नों का प्रयास करना है,प्रत्येक भाग से कम से कम $3$ प्रश्न चुनते हुए। छात्र कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?

$10$ लोगों को $2$ नावों में कितने तरीकों से बैठाया जा सकता है कि प्रत्येक नाव में $5$ लोग हों और दो विशिष्ट व्यक्ति एक ही नाव में न हों?

${}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ का मान है

यदि एक निश्चित बैठक के अंत में,प्रत्येक व्यक्ति ने अन्य सभी व्यक्तियों के साथ हाथ मिलाया,और यह पाया गया कि कुल $45$ बार हाथ मिलाए गए,तो बैठक में उपस्थित सदस्यों की संख्या क्या है?