${}^{50}C_4 + \sum_{r=1}^{6} {}^{56-r}C_3$ का मान है

वह सबसे बड़ा धनात्मक पूर्णांक जो सभी धनात्मक पूर्णांकों $n$ के लिए $(n+16)(n+17)(n+18)(n+19)$ को विभाजित करता है,है

$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं के समूह से $8$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि समिति में अधिकतम $5$ पुरुष और कम से कम $5$ महिलाएं हों,तो इसके तरीकों की संख्या है:

$6$ भारतीयों और $8$ विदेशियों में से एक वैज्ञानिक समिति बनाई जानी है,जिसमें कम से कम $2$ भारतीय और भारतीयों की संख्या से दोगुनी संख्या में विदेशी शामिल हों। तो समिति बनाने के तरीकों की संख्या है

एक क्रिकेट टीम में $15$ खिलाड़ी हैं,जिनमें से $6$ गेंदबाज,$7$ बल्लेबाज और $2$ विकेटकीपर हैं। उनसे $11$ खिलाड़ियों की एक टीम चुनने के तरीकों की संख्या ज्ञात कीजिए जिसमें कम से कम $4$ गेंदबाज,$5$ बल्लेबाज और $1$ विकेटकीपर शामिल हों।

$52$ ताश के पत्तों की एक गड्डी में से $4$ पत्ते चुनने के तरीकों की संख्या क्या है? इनमें से कितने तरीकों में सभी $4$ पत्ते फेस कार्ड (face cards) हैं?