$10$ पुरुषों और $8$ महिलाओं के समूह से $8$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि समिति में अधिकतम $5$ पुरुष और कम से कम $5$ महिलाएं हों,तो इसके तरीकों की संख्या है:

$6$ लड़कों और $4$ लड़कियों में से $7$ सदस्यों की एक समिति इस प्रकार बनाई जानी है कि लड़कों की संख्या लड़कियों की संख्या से अधिक हो। यह कितने तरीकों से किया जा सकता है?

कथन-$1:$ $10$ समान गेंदों को $4$ अलग-अलग बक्सों में इस प्रकार वितरित करने के तरीकों की संख्या कि कोई भी बक्सा खाली न रहे,$^9C_3$ है।
कथन-$2:$ $9$ अलग-अलग स्थानों में से किन्हीं $3$ स्थानों को चुनने के तरीकों की संख्या $^9C_3$ है।

मान लीजिए $A_1, A_2, \dots, A_{11}$ एक टीम में खिलाड़ी हैं जिनकी टी-शर्ट पर $1, 2, \dots, 11$ नंबर अंकित हैं। टीम ने फाइनल मैच में $100$ सोने के सिक्के जीते। इन सिक्कों को खिलाड़ियों के बीच इस तरह वितरित किया जाना है कि प्रत्येक खिलाड़ी को अपनी टी-शर्ट नंबर से कम से कम $1$ सिक्का अधिक मिले,लेकिन कप्तान और उप-कप्तान को अपनी टी-शर्ट नंबर से क्रमशः कम से कम $5$ और $3$ सिक्के अधिक मिलें। यदि कप्तान $A_1$ और उप-कप्तान $A_2$ हैं,तो इन सिक्कों को कितने अलग-अलग तरीकों से वितरित किया जा सकता है?

एक परीक्षक $8$ प्रश्नों को $30$ अंक कितने तरीकों से आवंटित कर सकता है,यदि प्रत्येक प्रश्न को कम से कम $2$ अंक देने हों?

एक परीक्षा में,एक प्रश्न पत्र में $12$ प्रश्न हैं जो दो भागों में विभाजित हैं,यानी भाग $I$ और भाग $II$,जिनमें क्रमशः $5$ और $7$ प्रश्न हैं। एक छात्र को कुल $8$ प्रश्नों का प्रयास करना है,प्रत्येक भाग से कम से कम $3$ प्रश्न चुनते हुए। छात्र कितने तरीकों से प्रश्नों का चयन कर सकता है?